Конечно, давайте подробно рассмотрим каждый из предложенных вариантов.
a) Der Küchenstuhl ist aus Metall.
Здесь правильный вариант "aus". В немецком языке предлог "aus" используется, когда говорится о материале, из которого сделан предмет. В данном случае, стул сделан из металла.
b) Seit 1990 gibt es nur noch einen Staat.
Предлог "seit" используется в немецком языке для обозначения времени, начиная с которого что-то происходит или существует. В данном случае, с 1990 года существует только одно государство.
c) Nach der Stadtrundfahrt können Sie den Funkturm besuchen.
Здесь правильный вариант "nach". Этот предлог указывает на последовательность событий. После экскурсии по городу вы можете посетить телебашню.
d) Ich nehme einen Obstkuchen mit Sahne.
Правильный вариант здесь "mit". Этот предлог используется для обозначения сопутствующих предметов или ингредиентов. В данном случае, фруктовый пирог с кремом.
e) Manfred ist mit Kurt.
Здесь правильный вариант "mit". Этот предлог указывает на совместное действие или нахождение с кем-то. Манфред с Куртом.
f) Herr Breuer war zwei Wochen krank. Am Freitag ist er aus dem Krankenhaus gekommen.
Правильный вариант "aus dem". Этот предлог используется для обозначения места, из которого кто-то или что-то выходит. В данном случае, Херр Бройер вышел из больницы.
Вот так выглядят правильные варианты с объяснениями:
a) Der Küchenstuhl ist aus Metall.
b) Seit 1990 gibt es nur noch einen Staat.
c) Nach der Stadtrundfahrt können Sie den Funkturm besuchen.
d) Ich nehme einen Obstkuchen mit Sahne.
e) Manfred ist mit Kurt.
f) Herr Breuer war zwei Wochen krank. Am Freitag ist er aus dem Krankenhaus gekommen.